Question

12．某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．

（1）分別寫出兩種產品的收益與投資額的函數關系式；
（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，結合函數圖象，我們可以利用待定系數法來求兩種產品的收益與投資的函數關系；
（2）由（1）的結論，我們設設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數，然后利用求函數最大值的方法進行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=${k}_{2}\sqrt{x}$，
f（1）=$\frac{1}{8}$=k₁，g（1）=k₂=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{8}$x（x≥0），g（x）=$\frac{1}{2}\sqrt{x}$（x≥0）
（2）設：投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
y=f（x）+g（20-x）=$\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令t=$\sqrt{20-x}$，則y=$\frac{20-{t}^{2}}{8}+\frac{1}{2}t$=-$\frac{1}{8}（t-2）^{2}+3$．
所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，y_max=3萬元．

點評 函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（�。┦亲顑灮瘑栴}中，最常見的思路之一．