Question

16．如圖所示的函數(shù)F（x）的圖象，由指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x與冪函數(shù)g（x）=x^b“拼接”而成．
（1）求F（x）的解析式；
（2）比較a^b與b^a的大小；
（3）已知（m+4）^-b＜（3-2m）^-b，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象過點(diǎn)（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），求出a，b，可得F（x）的解析式；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象比較即可；
（3）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}\\{（\frac{1}{4}）^b}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{16}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，∴$F（x）=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{16}）^x}，x≤\frac{1}{4}\\{x^{\frac{1}{2}}}，x＞\frac{1}{4}.\end{array}\right.$
因（2）為${（\frac{1}{2}）^{32}}＜\frac{1}{2}$，所以${[{{{（\frac{1}{2}）}^{32}}}]^{\frac{1}{16}}}＜{（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{16}}}$，即a^b＜b^a．
（3）由題意${（m+4）^{-\frac{1}{2}}}＜{（3-2m）^{-\frac{1}{2}}}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}m+4＞0\\ 3-2m＞0\\ m+4＞3-2m\end{array}\right.$解得$-\frac{1}{3}＜m＜\frac{3}{2}$，
所以m的取值范圍是$（-\frac{1}{3}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a和b，屬于中檔題．