Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），且橢圓C₁經過點P（

4

3

，

1

3

）．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）雙曲線C₂以橢圓C₁的頂點為焦點，以橢圓C₁的焦點為頂點，求曲線C₂的方程；
（3）雙曲線C3與雙曲線C₂以擁有相同的漸近線，且雙曲線C₃過（1，2）點，求曲線C₃的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出橢圓的c=1，再由a，b，c的關系和點代入橢圓方程，解方程即可得到a，b，進而得到橢圓方程；
（2）求出雙曲線的c，a，再由a，b，c的關系，得到b，進而得到雙曲線方程；
（3）求出雙曲線C₂的漸近線方程，設出雙曲線C₃的方程為y²-x²=λ（λ≠0），代入點的坐標，即可得到雙曲線方程．

解答： 解：（1）由條件可得，橢圓C₁的c=1，即有a²-b²=1，
代入點P的坐標，得

16

9a2

+

1

9b2

=1，
解得，a=

2

，b=1．
則有橢圓C₁的方程為

x2

2

+y²=1；
（2）雙曲線C₂以橢圓C₁的頂點（±

2

，0）為焦點，
以橢圓C₁的焦點（±1，0）為頂點，
則雙曲線的c=

2

，a=1，即有b=1，
則雙曲線C₂的方程為x²-y²=1；
（3）雙曲線C₃與雙曲線C₂有相同的漸近線，
即為y=±x，
可設雙曲線C₃的方程為y²-x²=λ（λ≠0），
雙曲線C₃過（1，2）點，則有λ=4-1=3，
則有雙曲線C₃的方程為y²-x²=3．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查雙曲線的漸近線方程和雙曲線方程的關系，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．