Question

設定義域為R的函數f（x）=

a|x-1|，(x≥0) x2+bx+c，(x＜0)

，f（2）=4，f（-3）=f（-1）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數解，求實數m的值．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，f（2）=a=4；f（-3）=9-3b+c=1，f（-1）=1-b+c=1；從而得到a=4，b=4，c=4；從而寫出解析式．
（2）作f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

的圖象，從而化關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數解為t²-（2m+1）t+m²=0有兩個不同的實數解，且有一個解為1或4；另一個解在（1，4）之間，從而解得．

解答： 解：（1）由題意，f（2）=a=4；
f（-3）=9-3b+c=1，
f（-1）=1-b+c=1；
則a=4，b=4，c=4；
故f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

；
（2）作f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

的圖象如下，

則若使關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數解，
則t²-（2m+1）t+m²=0有兩個不同的實數解，且有一個解為1或4；
若1是t²-（2m+1）t+m²=0得解，
則1-（2m+1）+m²=0；
故m=0或m=2；
若m=0，則t²-（2m+1）t+m²=0的兩個解為1，0；不成立；
若m=2，則t²-（2m+1）t+m²=0的兩個解為1，4；由圖知不成立；
若4是t²-（2m+1）t+m²=0得解，
則16-4（2m+1）+m²=0；
故m=6或m=2；
若m=6，則t²-（2m+1）t+m²=0的兩個解為4，9；不成立；
故不存在．

點評：本題考查了分段函數的求法及綜合應用，屬于中檔題．