Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱錐A-CDB₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得CC₁⊥A₁D，A₁D⊥C₁B₁，由此能證明A₁D⊥BC₁．
（Ⅱ）由已知先求出DB₁，從而S△CDB1=

1

2

DB1×CC1=

1

2

×2

2

×4=4

2

，A到平面CDB₁的距離A₁D=

16-8

=2

2

，由此能求出三棱錐A-CDB₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D，
∵AC=AB=AA₁=4，點D是棱B₁C₁的中點，
∴A₁D⊥C₁B₁，
又CC₁∩C₁B₁=C₁，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，
又BC₁?平面BCC₁B₁，∴A₁D⊥BC₁．
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=4，
∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點，
DB₁=

1

2

C1B1=

1

2

16+16

=2

2

，
∴S△CDB1=

1

2

DB1×CC1=

1

2

×2

2

×4=4

2

，
∵A₁D⊥平面BCC₁B₁，
∴A到平面CDB₁的距離A₁D=

16-8

=2

2

，
∴三棱錐A-CDB₁的體積V=

1

3

S△CDB1×A1D=

1

3

×4

2

×2

2

=

16

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．