Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個焦點，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點M，與雙曲線交于點N（設M，N均在第一象限），當直線MF₁與直線ON平行時，雙曲線的離心率取值為e₀，則e₀所在的區間為（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（

  2

  ，

  3

  ）
• C、（

  3

  ，2）
• D、（2，3）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，與圓的方程聯立，求得交點M，再與雙曲線的方程聯立，求得交點N，再與兩直線平行的條件：斜率相等，得到方程，注意結合a，b，c的關系和離心率公式，得到e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，令f（x）=x³+2x²-2x-2，運用零點存在定理，判斷f（1），f（

2

），f（

3

），f（2），f（3）的符號，即可得到范圍．

解答： 解：雙曲線的c²=a²+b²，e₀=

c

a

，
雙曲線的漸近線方程為y=

b

a

x，
與圓x²+y²=c²聯立，解得M（a，b），
與雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1聯立，
解得交點N（

a2c2+a2b2

c

，

c4-a2c2-a2b2

c

），
即為N（

a 2c2-a2

c

，

c2-a2

c

），
直線MF₁與直線ON平行時，即有

b

a+c

=

c2-a2

a 2c2-a2

，
即（a+c）²（c²-a²）=a²（2c²-a²），
即有c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
即有e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
由于f（1）＜0，f（

2

）＞0，f（

3

）＞0，f（2）＞0，f（3）＞0，
則由零點存在定理可得，e₀∈（1，

2

）．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率的求法，考查兩直線平行的條件，考查運算能力，屬于中檔題．