Question

8．已知函數$f（x）=\frac{{5-x+{4^x}}}{2}-\frac{{|{5-x-{4^x}}|}}{2}$，則f（x）的單調增區間為（-∞，1]，$f（x）＞\sqrt{5}$的解集為（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

Answer 1

分析 根據絕對值的性質將函數f（x）進行化簡，結合分段函數的表達式進行判斷求解即可．

解答 解：∵函數y=5-x-4^x為減函數，且x=1時，y=5-x-4^x=5-1-4=0，
∴當x＞1時，5-x-4^x＜0，此時f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$+$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=5-x為減函數，
當x≤1時，5-x-4^x≥0，此時f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$-$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=4^x為增函數，
即函數f（x）的單調遞增區間為為（-∞，1]，
當x＞1時，由5-x＞$\sqrt{5}$得x＜5-$\sqrt{5}$，此時1＜x＜5-$\sqrt{5}$，
當x≤1時，由4^x＞$\sqrt{5}$得x＞log₄$\sqrt{5}$，此時log₄$\sqrt{5}$＜x≤1，
即不等式的解集為（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]，
故答案為：（-∞，1]，（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據絕對值的性質將函數表示成分段函數形式是解決本題的關鍵．