Question

已知函數（其中是自然對數的底數），，．

（1）記函數，且，求的單調增區間；

（2）若對任意，，均有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）和（2）

【解析】

試題分析：（1）利用導函數大于零求單調增區間：因為，所以，令，因為，得或，所以的單調增區間為和（2）雙變量不等式恒成立問題，先對不等式進行等價變形，轉化為對應函數增減性問題：不妨設，根據在上單調遞增，所以有對恒成立，即對，恒成立，即對，恒成立，所以和在都是單調遞增函數，然后分別求對應函數增減性條件：在上恒成立，在恒成立，得在恒成立，；在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，，所以實數的取值范圍為．

試題解析：（1）因為，

所以， 2分

令，因為，得或， 5分

所以的單調增區間為和； 6分

（2）因為對任意且，均有成立，

不妨設，根據在上單調遞增，

所以有對恒成立， 8分

所以對，恒成立，

即對，恒成立，

所以和在都是單調遞增函數， 11分

當在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因為在上單調減函數，所以在上取得最大值，

解得． 13分

當在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因為在上遞減，在上單調遞增，

所以在上取得最小值，

所以， 15分

所以實數的取值范圍為． 16分

考點：不等式恒成立問題