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20.已知函數f(x)=x3+ax2+bx在x=-$\frac{2}{3}$與x=1處都取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程.

分析 (1)根據所給的函數的解析式,對函數求導,使得導函數等于0,得到關于a,b的關系式,解方程組即可,
(2)求出切點坐標,利用導數幾何意義求出切線斜率k,即可求解切線方程

解答 解:(1)f(x)=x3+ax2+bx,f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′($\frac{2}{3}$)=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,
得a=-$\frac{1}{2}$,b=-2,
經檢驗,a=-$\frac{1}{2}$,b=-2符合題意;
(2)由(1)得f′(x)=3x2-x-2,
曲線y=f(x)在x=2處的切線方程斜率k=f′(2)=8,
又∵f(2)=2,
∴曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為y-2=8(x-2),
即8x-y-14=0為所求.

點評 本題考查了導數與函數極值得關系,考查了導數的幾何意義,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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12.雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1(a>0)的一個焦點與拋物線y2=4$\sqrt{5}$x的焦點重合,則雙曲線的漸近方程是(  )
A.y=$±\frac{1}{4}$xB.y=$±\frac{1}{2}$xC.y=±2xD.y=±4x

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B.$|{a-b}|+\frac{1}{a-b}≥2$
C.不等式|a+b|≥|a|-|b|等號成立的條件為ab≤0
D.在極坐標系中方程$({ρ-2cosθ})({θ-\frac{π}{3}})=0(ρ≥0)$表示的圓和一條直線.

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