Question

11．已知復數z滿足z³=1，且z的虛部為sin60°．
（1）求復數z；
（2）設z，z²，z+z²在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設z=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，a∈R，運用復數的乘方運算，結合復數相等的條件，解方程可得a，進而得到所求復數；
（2）求得z²，z+z²表示的復數，可得點A，B，C，再由三角形的面積公式計算即可得到所求面積．

解答 解：（1）z³=1，且z的虛部為sin60°，
可設z=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，a∈R，
則（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=a³+3a²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+3a•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=1，
化簡可得a³-$\frac{9}{4}$a+i（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）=1，
則a³-$\frac{9}{4}$a=1，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$舍去），
則z=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i；
（2）由z=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，可得z²=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
z+z²=-1，
設z，z²，z+z²在復平面上的對應點分別為A，B，C，
即有A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$i），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（-1，0），
即有△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•|AB|•（-$\frac{1}{2}$+1）=$\frac{1}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查復數的乘方和加減運算，考查復數相等的條件和復數的幾何意義，以及三角形的面積的求法，考查運算能力，屬于中檔題．