Question

9．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，若方程f（x）=m在[-2，10]上有6個實根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 確定x=2是函數f（x）的對稱軸，周期T=4，結合條件，即可得出結論．

解答 解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（2）=2f（2），解得f（2）=0；
又f（x+4）=f（x），∴f（4-x）=f（-x）=f（x），∴x=2是函數f（x）的對稱軸，周期T=4，
又函數f（x）是偶函數，關于y軸對稱，因此x=4也是其對稱軸，函數f（x）在區間[6，8]上單調遞增．
∵當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，f（2）=0，
∴當x∈[0，2）時，f（x）＞0，不妨取x₂=2，
則f（x₂）=0．
同理在區間[-2，0）上只有f（-2）=0，取x₁=-2，滿足f（x₁）=0．
可知：x₁+x₂=-2+2=0．
同理，x₃+x₄=8，x₅+x₆=16，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24，
故選：D．

點評 本題綜合考查了函數奇偶性、單調性、周期性，考查了推理能力和數形結合能力，屬于難題．