Question

1．已知直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為$ρ=4sin（{θ-\frac{π}{6}}）$．
（I）求圓C的直角坐標方程；
（II）若P（x，y）是圓上的任意一點，求$\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求圓C的直角坐標方程；
（II）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t，即可求$\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

解答 解：（I）因為圓C的極坐標方程為$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρsin（θ-\frac{π}{6}）=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
又ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以x²+y²=$2\sqrt{3}y-2x$，
所以圓C的普通方程x²+y²$+2x-2\sqrt{3}y=0$…（5分）
（II）設$z=\sqrt{3}x+y$，
由圓C的方程x²+y²$+2x-2\sqrt{3}y=0$⇒${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$，
所以圓C的圓心是$（-1，\sqrt{3}）$，半徑是2，
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t，
又直線l過$C（-1，\sqrt{3}）$，圓C的半徑是2，所以-2≤t≤2，
所以-2≤-t≤2，
即$\sqrt{3}x+y$的取值范圍是[-2，2]．（10分）

點評 本題考查極坐標方程與直角方程的互化，考查直線參數方程的運用，屬于中檔題．