Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PD=2$\sqrt{2}$PA=AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥PC；
（Ⅱ）設BD∩AC=O，連接PO，則∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角，即可求直線PB與平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）由等體積可得點C到平面PBD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，PD=2$\sqrt{2}$，PA=AB=2，
∴PA⊥AD，BD⊥AC
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵BD⊥AC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）解：設BD∩AC=O，連接PO，則∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角，
∵PD=2$\sqrt{2}$，PA=AB=2，∠BAD=60°
∴PB=2$\sqrt{2}$，BO=1，
∴PO=$\sqrt{7}$，
∴直線PB與平面PAC所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
（Ⅲ）解：設點C到平面PBD的距離為h，則
由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}h$
∴h=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．