Question

2．已知曲線C的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α為參數），曲線C上的點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）對應的參數α=$\frac{π}{4}$，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點P的極坐標是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），直線l過點P，且與曲線C交于不同的兩點A、B．（1）求曲線C的普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由橢圓參數方程可得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{4}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}=bsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，解得a，b．可得曲線C的參數方程，化為直角坐標方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化為極坐標方程．
（II）寫出直線l的參數方程，代入曲線C的方程，利用根與系數的關系可得：|PA|•|PB|=-t₁t₂，進而得出．

解答 解：（I）由橢圓參數方程可得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{4}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}=bsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．∴曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，其直角坐標方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可得ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（II）點P的極坐標是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）化為直角坐標為（0，$\sqrt{2}$），直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosθ}\\{y=\sqrt{2}+tsinθ}\end{array}\right.\\;（t為參數）$，代入曲線C的方程可得：（1+sin²θ）t²+4$\sqrt{2}$sinθt+2=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$∈[1，2]

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、橢圓的參數直角方程極坐標方程的互化及其應用、直線的參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．