Question

17．如圖，四棱錐S-ABCD中，SA=SD=BC，底面ABCD為正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分別是AB，SC的中點．
（1）若R為CD中點，分別連接MR，RN，NM，求證：BC∥平面MNR；
（2）求二面角S-CM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形MBCR是平行四邊形，從而RC∥MB，由此能證明BC∥平面MNR．
（2）取AD的中點O，連結OS，過O作AD的垂線交BC于G，分別以OA、OG、OS為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角S-CM-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DC，AB=DC，
∵M，N分別是AB，DC的中點，
∴RC∥MB，RC=MB，
∴四邊形MBCR是平行四邊形，
∴RC∥MB，
∵BC?平面MNR，MB?平面MNR，
∴BC∥平面MNR．
解：（2）取AD的中點O，連結OS，
過O作AD的垂線交BC于G，分別以OA、OG、OS為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設正方形ABCD的邊長為2，
則C（-1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{SM}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），
設平面SCM的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SM}=x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，$\sqrt{3}$），
平面ABCD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角S-CM-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角S-CM-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．