Question

2．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的圖象與直線y=1的交點中，相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，且$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數x恒成立，則φ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，函數f（x）圖象與直線y=1的交點中，相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，即|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．可得ω=2．那么f（x）=2sin（2x+φ）；$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$時，可得最大值．即可求出φ．

解答 解：由題意，函數f（x）圖象與直線y=1的交點中，
相鄰兩個交點距離的最小值為$\frac{π}{3}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2sin（ωx+φ）}\\{y=1}\end{array}\right.$可得sin（ωx+φ）=$\frac{1}{2}$．
令ωx₁+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
ωx₂+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z．
則|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．
可得ω=2．
那么f（x）=2sin（2x+φ）；
∵$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$對任意實數x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值．
即2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$．
可得：φ=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用．屬于中檔題．