Question

17．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x-3．
（1）求f（3）+f（-1）的值；
（2）求f（x）在R上的解析式；
（3）畫出函數f（x）的圖象，并寫出函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用函數的解析式，通過函數f（x）是定義在R上的奇函數，化簡求解即可．
（2）求出當x＜0，時的函數的解析式f（x）=x+3，然后求解函數的解析式即可．
（3）利用函數的解析式畫出函數的圖象即可．

解答 解：（1）因為3＞0，所以f（3）=3-3=0，
又函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-1）=-f（1）=-（1-3）=2，
故f（3）+f（-1）=0+2=2．
（2）由題意，當x＜0，即-x＞0時，則f（-x）=-x-3，
又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x+3，
故所求函數f（x）在R上的解析式為$f（x）=x\left\{\begin{array}{l}x-3，x＞0\\ 0，x=0\\ x+3，x＜0\end{array}\right.$．
（3）圖象如圖所示．

由圖可得，函數的單調遞增區間為（-∞，0）和（0，+∞）．

點評 本題考查函數的圖象以及函數的解析式的求法，函數值的求法，考查計算能力．