Question

1．如圖所示，是一個空間幾何體的三視圖，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的體積是（　　）

• A． $\frac{49}{9}π$
• B． $\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$
• C． $\frac{28}{3}π$
• D． $\frac{{28\sqrt{7}}}{9}π$

Answer 1

分析 由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱長是2，根據三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，求出半徑即可求出球的體積．

解答 解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱長是2，
三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，
r=$\sqrt{（\frac{2}{3}×\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，球的體積$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．
故選：B．

點評 本題考查了由三視圖求三棱柱的外接球的體積，利用棱柱的幾何特征求外接球的半徑是解題的關鍵．