Question

6．已知f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）已知關于x的不等式f（x）＜2a-1有實數解，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論求出函數的最小值，即可求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x-2|，
 ①當x≤-1時，f（x）=-2x+1≥3；
 ②當-1＜x≤2時，f（x）=3．
③當x＞2時，f（x）=2x-1＞3．
∵關于x的不等式f（x）＜2a-1有實數解，
∴2a-1＞3，∴a＞2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當x≤-1時，f（x）=-2x+1≥x²-2x，解得x=-1；
當-1＜x≤2時，f（x）=3≥x²-2x，解得-1≤x≤3，∴-1＜x≤2，
當x＞2時，f（x）=2x-1≥x²-2x，解得2-$\sqrt{3}$≤x≤2+$\sqrt{3}$，∴2＜x≤2+$\sqrt{3}$，
綜上所述，不等式的解集為[-1，2+$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．