Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，且a＞0
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導函數，把函數f（x）在[1，+∞）上為增函數轉化為導函數大于等于0恒成立問題，再轉化為關于正實數a的不等式問題即可求出正實數a的取值范圍；
（2）先求出函數的導函數，進而求出其在[1，e]上的單調性即可求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數
∴f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1；
（2）當a=1時，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
若x∈[$\frac{1}{e}$，1）則f′（x）＜0，若x∈（1，e]，則f′（x）＞0，
故x=1是f（x）在區間[$\frac{1}{e}$，e]上的惟一極小值點，也是最小值點，
故f（x）_min=f（1）=0；
∵f（$\frac{1}{e}$）=e-2＞$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上最大值為e-2，
綜上知函數f（x）區間[$\frac{1}{e}$，e]上最大值是e-2，最小值是0．

點評 本題第二問考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．