Question

15．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-$\frac{1}{16}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）定長為2的線段MN的兩端點在拋物線E上移動，O為坐標原點，點P滿足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，求點P到y軸距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中的準線方程，求出p值，可得拋物線的方程；
（2）先設出M，N的坐標，根據拋物線方程可求得其準線方程，進而可表示出M到y軸距離，根據拋物線的定義結合兩邊之和大于第三邊且A，B，F三點共線時取等號判斷出$\frac{|MF|+|NF|}{2}$的最小值即可．

解答 解：（1）∵拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-$\frac{1}{16}$．
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{16}$，
解得：p=$\frac{1}{8}$，
即拋物線E的方程為：y²=$\frac{1}{4}$x；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵點P滿足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，故P為MN的中點，
P到y軸距離S=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{|MF|+|NF|}{2}$-$\frac{1}{16}$≥$\frac{|MN|}{2}$-$\frac{1}{16}$=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
當且僅當M，N過F點時取等號，

點評 本小題主要考查拋物線的簡單性質、利用不等式求最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．