Question

10．用數學歸納法證明：1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用數學歸納法證明：（1）當n=1時，去證明等式成立；（2）假設當n=k時，等時成立，用上歸納假設后，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：①n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立；
②假設n=k時等式成立，即1²+3²+5²+…+（2k-1）²=$\frac{1}{3}$k（4k²-1），
那么，當n=k+1時，1²+3²+5²+…+（2k-1）²+（2k+1）²
=$\frac{1}{3}$k（4k²-1）+（2k+1）²=$\frac{1}{3}$[4（k+1）³-（k+1）]=$\frac{1}{3}$（k+1）[4（k+1）²-1]，等式成立．
由①②可知1²+3²+5²+…+（2n-1）²=$\frac{1}{3}$n（4n²-1）（n∈N^*）．

點評 本題考查數學歸納法，掌握用數學歸納法的證題步驟與思路，用好歸納假設是關鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．