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12.等腰三角形ABC,E為底邊BC的中點,沿AE折疊,如圖,將C折到點P的位置,使P-AE-C為120°,設點P在面ABE上的射影為H.
(1)證明:點H為EB的中點;
(2)) 若$AB=AC=2\sqrt{2},AB⊥AC$,求直線BE與平面ABP所成角的正弦值.

分析 (1)證明:∠CEP為二面角C-AE-P的平面角,則點P在面ABE上的射影H在EB上,即可證明點H為EB的中點;
(2)過H作HM⊥AB于M,連PM,過H作HN⊥PM于N,連BN,則有三垂線定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB,HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影為NB,∠HBN為直線BE與面ABP所成的角,即可求直線BE與平面ABP所成角的正弦值.

解答 (1)證明:依題意,AE⊥BC,則AE⊥EB,AE⊥EP,EB∩EP=E.
∴AE⊥面EPB.
故∠CEP為二面角C-AE-P的平面角,則點P在面ABE上的射影H在EB上.
由∠CEP=120°得∠PEB=60°.…(3分)
∴EH=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}EB$.
∴H為EB的中點.…(6分)
(2)解:過H作HM⊥AB于M,連PM,過H作HN⊥PM于N,連BN,
則有三垂線定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB,
∴HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影為NB.
∴∠HBN為直線BE與面ABP所成的角.…(9分)
依題意,BE=$\frac{1}{2}$BC=2,BH=$\frac{1}{2}$BE=1.
在△HMB中,HM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
在△EPB中,PH=$\sqrt{3}$,
∴在Rt△PHM中,HN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
∴sin∠HBN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.…(12分)

點評 本題考查線面垂直,考查線面角,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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