Question

5．已知圓C與圓D：（x-1）²+（y+2）²=4關于直線y=x對稱．
（Ⅰ） 求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與圓C交于A、B兩點，且$|{AB}|=2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可知兩圓半徑相等，圓心關于直線y=x對稱，從而得出圓C的圓心坐標，得出圓C的方程；
（II）利用垂徑定理得出圓心C到直線l的距離，再利用點到直線的距離公式計算k，得出直線l的方程．

解答 解：（I）設圓C的圓心為C（a，b），半徑為r，
則C（x，y）與D（1，-2）關于直線y=x對稱，且r=2，
∴C（-2，1），
∴圓C的方程為（x+2）²+（y-1）²=4．
（II）∵圓C的半徑為r=2，|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圓C的圓心C（-2，1）到直線l的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=1，
即$\frac{|-2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

點評 本題考查了圓的方程，直線與圓的位置關系，屬于基礎題．