Question

20．已知向量$\overrightarrow a、\overrightarrow b、\overrightarrow c$是空間的一個單位正交基底，向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$是空間的另一組基底，若向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a、\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐標是（1，3，4），求向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐標．

Answer 1

分析 不妨設：$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=（0，0，1）．可得$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$+4$\overrightarrow{c}$．設$\overrightarrow{p}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+y$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$+z$\overrightarrow{c}$=$（x+y）\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$．利用空間向量基本定理即可得出．

解答 解：不妨設：$\overrightarrow{a}$=（1，0，0），$\overrightarrow$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=（0，0，1）．
$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$+4$\overrightarrow{c}$．
設$\overrightarrow{p}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+y$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$+z$\overrightarrow{c}$=$（x+y）\overrightarrow{a}$+（x-y）$\overrightarrow$+z$\overrightarrow{c}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=3}\\{z=4}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-1，z=4．
∴向量$\overrightarrow p$在基底$\overrightarrow a+\overrightarrow b、\overrightarrow a-\overrightarrow b、\overrightarrow c$下的坐標為（2，-1，4）．

點評 本題考查了空間向量基本定理、向量坐標運算性質、方程組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．