Question

9．在統計學中，偏差是指個別測定值與測定的平均值之差，在成績統計中，我們把某個同學的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差，班主任為了了解個別學生的偏科情況，對學生數學偏差x（單位：分）與物理偏差y（單位：分）之間的關系進行學科偏差分析，決定從全班56位同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，得到他們的兩科成績偏差數據如下：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（1）已知x與y之間具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；
（2）若這次考試該班數學平均分為118分，物理平均分為90.5，試預測數學成績126分的同學的物理成績．
參考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x，
參考數據：$\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}}$=324，$\sum_{i=1}^8{x_i^2}$=1256．

Answer 1

分析 （1）由題意，計算平均數和回歸系數，寫出線性回歸方程；
（2）由題意，設出該同學的物理成績，寫出物理偏差和數學偏差，
利用回歸服從求出這位同學的物理成績．

解答 解：（1）由題意，計算$\overline x=\frac{{20+15+13+3+2+（{-5}）+（{-10}）+（{-18}）}}{8}=\frac{5}{2}$，
$\overline y=\frac{{6.5+3.5+1.5+0.5+（{-0.5}）+（{-2.5}）+（{-3.5}）}}{8}=\frac{9}{8}$，
回歸系數$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{{{\sum_{i=1}^8{x_i^2-n\overline x}}^2}}}=\frac{{324-8×\frac{5}{2}×\frac{9}{8}}}{{1256-8×{{（{\frac{5}{2}}）}^2}}}=\frac{1}{4}$，
所以$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=\frac{9}{8}-\frac{1}{4}×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，
所以線性回歸方程為$\hat y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$；
（2）由題意，設該同學的物理成績為ω，
則物理偏差為：ω-90.5；
而數學偏差為126-118=8，
則（Ⅰ）的結論可得，$ω-90.5=\frac{1}{4}×8+\frac{1}{2}$，解得ω=93，
所以，可以預測這位同學的物理成績為93分．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法和應用問題，是中檔題．