Question

19．已知函數f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|，若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，則下面結論正確的是（　　）

• A． x₁+x₂-1＞0
• B． x₁+x₂-1＜0
• C． x_2-x₁＞0
• D． x_2-x₁＜0

Answer 1

分析 通過分段化簡函數解析式，結合f（x₁）=f（x₂），作差可得f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．構造函數g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．利用導數可得該函數為定義域上的減函數，得到f（x₂）＞f（1-x₁）．再由f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數，可得x₁+x₂-1＞0．

解答 解：∵f（x）=e^|ln2x|-|x-$\frac{1}{4x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-（x-\frac{1}{4x}），x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2x}+（x-\frac{1}{4x}），0＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x+$\frac{1}{4x}$（x＞0），
∵f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，
∴不妨設x₁＜x₂，則0＜x₁＜$\frac{1}{2}$＜x₂．
故1-x₁＞$\frac{1}{2}$．
∴f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）．
設g（x）=f（x）-f（1-x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）．
則g（x）=2x+$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4（x-1）}-1$．
g′（x）=$2-\frac{1}{4{x}^{2}}-\frac{1}{4（1-x）^{2}}$＜0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）內為減函數．
得g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=0，
從而f（x₂）-f（1-x₁）=f（x₁）-f（1-x₁）＞0．
故f（x₂）＞f（1-x₁）．
又f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數，
∴x₂＞1-x₁，即x₁+x₂-1＞0．
故選：A．

點評 本題考查函數的零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法，訓練了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．