Question

14．如圖，圓O是一半徑為10米的圓形草坪，為了滿足周邊市民跳廣場舞的需要，現規劃在草坪上建一個廣場，廣場形狀如圖中虛線部分所示的曲邊四邊形，其中A，B兩點在⊙O上，A，B，C，D恰是一個正方形的四個頂點．根據規劃要求，在A，B，C，D四點處安裝四盞照明設備，從圓心O點出發，在地下鋪設4條到A，B，C，D四點線路OA，OB，OC，OD．
（1）若正方形邊長為10米，求廣場的面積；
（2）求鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接AB，求出正方形的面積，再求出弓形面積，作和得答案；
（2）過O作OK⊥CD，垂足為K，過O作OH⊥AD（或其延長線），垂足為H，設∠OAD=θ（0＜θ＜$\frac{π}{4}$），把OH，DH分別用含有θ的三角函數值表示，利用勾股定理求OD，再由輔助角公式求得最小值，則鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值可求．

解答 解：（1）連接AB，
∵AB=10，∴正方形ABCD的面積為100，
又OA=OB=10，∴△AOB為正三角形，則$∠AOB=\frac{π}{3}$，
而圓的面積為100π，∴扇形AOB得面積為$\frac{100π}{6}=\frac{50π}{3}$，
又三角形AOB的面積為$\frac{1}{2}×10×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$．
∴弓形面積為$\frac{50π}{3}-25\sqrt{3}$，
則廣場面積為100+$\frac{50π}{3}-25\sqrt{3}$（平方米）；
（2）過O作OK⊥CD，垂足為K，過O作OH⊥AD（或其延長線），垂足為H，
設∠OAD=θ（0＜θ＜$\frac{π}{4}$），
則OH=10sinθ，AH=10cosθ，
∴DH=|AD-AH|=|2OH-AH|=|20sinθ-10cosθ|，
∴OD=$\sqrt{100si{n}^{2}θ+（20sinθ-10cosθ）^{2}}$=$\sqrt{300-200\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$．
∴當θ=$\frac{π}{8}$時，$O{D}_{min}=10（\sqrt{2}-1）$．
∴鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值為$20\sqrt{2}$（米）．

點評 本題是應用題，考查簡單的數學建模思想方法，考查圓在實際問題中的應用，訓練了三角函數最值的求法，是中檔題．