Question

12．已知圓O₁：x²+2x+y²=0，圓O₂：x²-2x+y²-8=0，動圓P與圓O₁外切且和圓O₂內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點（1，$\frac{1}{2}$）作直線l交曲線C于A、B兩點，且點M恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的位置關系可知|PO₁|+|PO₂|=4，故而曲線C為以O₁，O₂為焦點的橢圓，根據橢圓的定義得出曲線C的方程；
（2）聯立方程組，根據根與系數的關系列方程求出斜率k即可得出直線l的方程．

解答 解：（1）圓O₁的圓心為O₁（-1，0），半徑r₁=1，
圓O₂的圓心為O₂（1，0），半徑為r₂=3，
∵動圓P與圓O₁外切且和圓O₂內切，
∴動圓P的半徑r=|PO₁|-r₁=r₂-|PO₂|，
即|PO₁|+|PO₂|=4，
∴P點軌跡是以O₁，O₂為焦點的橢圓，
∴P點軌跡曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設直線l斜率為k，則直線l的方程為：y=k（x-1）+$\frac{1}{2}$，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+4k（1-2k）x+（2k-1）²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{3+4{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{3}{2}$．
∴直線l的方程為y=-$\frac{3}{2}$（x-1）+$\frac{1}{2}$，即3x+2y-4=0．

點評 本題考查了圓的位置關系，橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．