Question

3．已知函數$f（x）=\frac{2x}{x+1}$
（1）用定義證明：f（x）在[0，1]上是增函數
（2）若2＜x＜6時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據題意，將函數f（x）的解析式變形為f（x）=2-$\frac{2}{x+1}$，由作差法設0≤x₁＜x₂≤1，分析f（x₁）-f（x₂）的符號即可得證明；
（2）根據題意，分析易得f（x）在（2，6）上為增函數，即可得f（2）＜f（x）＜f（6），計算即可得答案．

解答 解：（1）證明：根據題意，$f（x）=\frac{2x}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
設0≤x₁＜x₂≤1，
則有f（x₁）-f（x₂）=（2-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$）-（2-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$）=$\frac{2}{{x}_{2}+1}$-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
又由0≤x₁≤x₂≤1，
則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
故函數f（x）在[0，1]上是增函數；
（2）根據題意，$f（x）=\frac{2x}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
分析易得在（2，6）上，函數f（x）為增函數，
則f（2）＜f（x）＜f（6），
則函數f（x）的值域為（$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{7}$）．

點評 本題考查函數的單調性的判定及應用，關鍵是分析函數f（x）的單調性．