Question

13．△ABC中，D為線段BC的中點，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，則BC=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設∠CAD=α，∠BAD=β，則∠CAB=α+β．則有$\frac{CD}{sinα}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，$\frac{DB}{sinβ}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
從而可得2sinβ=sin（α+β）•cosα，2sin[（α+β）-α]=sin（α+β）•cosα，
可得sin（α+β）=2cos（α+β）•tanα，又因為tanα=sin（α+β），化簡得2cos（α+β）=1，故$cos（{α+β}）=\frac{1}{2}$．所以BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）=3，可求得BC．

解答 解：如圖，設∠CAD=α，∠BAD=β，則∠CAB=α+β．
則有$\frac{CD}{sinα}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，$\frac{DB}{sinβ}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
由題意知tan∠CAD=sin∠CAB，即tanα=sin（α+β）．
切化弦可得$\frac{sinα}{cosα}=sin（{α+β}）$，
故sinα=sin（α+β）•cosα，從而可得2sinβ=sin（α+β）•cosα，
利用角的變形可得2sin[（α+β）-α]=sin（α+β）•cosα，
展開得sin（α+β）•cosα=2cos（α+β）•sinα，兩邊同除以cosα（cosα≠0）
可得sin（α+β）=2cos（α+β）•tanα，又因為tanα=sin（α+β），
化簡得2cos（α+β）=1，故$cos（{α+β}）=\frac{1}{2}$．
所以BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）=3，故$BC=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$

點評 本題考查了三角恒等變形，正余弦定理的應用，考查了運算能力，屬于中檔題．