Question

5．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過焦點垂直于x軸的直線與橢圓相交的弦長為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓C長軸的左右端點分別為A₁，A₂，設直線x=-4與x軸交于點D，動點M是直線x=-4上異于點D的任意一點，直線A₁M，A₂M與橢圓C分別交于P，Q兩點，問直線PQ是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的性質，及橢圓的通徑，即可求得a和b的值；
（2）分別求得直線A₁M，A₂M的方程，代入橢圓方程，即可求得P，Q坐標，根據直線的斜率公式，即可求得直線PQ是否恒過定點．

解答 解：（1）由題意的焦點在x軸上，設橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，由題意的通徑$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，則A₁（-2，0），A₂（2，0），
M（-4，m）（m∈R，且m≠0）P（x₁，y₁）．Q（x₂，y₂）
${k}_{{A}_{1}M}$=$\frac{m-0}{-4+2}$=-$\frac{m}{2}$，${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{m-0}{-4-2}$=-$\frac{m}{6}$，
∴A₁M：y=-$\frac{m}{2}$（x+2），A₂M：y=-$\frac{m}{6}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{2}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+1）x²+4m²x+4m²-4=0，
-2x₁=$\frac{4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+1}$，x₁=-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，y₁=-$\frac{m}{2}$（x₁+2）=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
P（-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{6}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（m²+9）x²-4m²x+4m²-36=0，
∴2x₂=$\frac{4{m}^{2}-36}{{m}^{2}+9}$，∴x₂=$\frac{2{m}^{2}-18}{{m}^{2}+9}$，y₂=-$\frac{m}{6}$（x₂-2）=$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$，
Q（$\frac{2{m}^{2}-18}{{m}^{2}+9}$，$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$）．
則k_PQ=k_PQ=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（m≠±$\sqrt{3}$），y+$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x+$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$），
y=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$x-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x+1），
∴直線PQ恒過定點（-1，0），
當m=$\sqrt{3}$時，P（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），當m=-$\sqrt{3}$時，P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
直線PQ恒過定點（-1，0），
∴綜上可知：直線PQ恒過定點（-1，0），

點評 通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過方程與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想，屬于中檔題．