Question

15．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（m＞p＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（n＞0）有公共的焦點F₁，F₂，設M為C₁與C₂在第一象限內的交點，|F₁F₂|=2c．則（　　）

• A． m²+n²=2c²，且∠F₁MF₂＞$\frac{π}{2}$
• B． m²+n²=2c²，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$
• C． m²+n²=4c²，且∠F₁MF₂＞$\frac{π}{2}$
• D． m²+n²=4c²，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用兩條曲線有相同的焦點坐標，推出m，n的關系式，通過雙曲線與橢圓的定義結合勾股定理求解即可．

解答 解：橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（m＞p＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{p}^{2}}$=1（n＞0）有公共的焦點F₁，F₂，
可得m²-p²=c²，n²+p²=c²，可得：m²+n²=2c²，
又|MF₁|+|MF₂|=2m，|MF₁|-|MF₂|=2n，
可得|MF₁|=m+n；|MF₂|=m-n，
|MF₁|²+|MF₂|²=2（m²+n²）=4c²=|F₁F₂|²；
所以：∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．