Question

20．已知雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，$2\sqrt{3}a$為半徑的圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，則λ=-2或-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{b}{a}$x，P在x軸上方，Q在x軸的下方，H為PQ的中點(diǎn)，運(yùn)用圓的垂徑定理和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得FH=b，再由向量數(shù)量積的定義可得∠PFQ=120°，進(jìn)而判斷PF⊥OF，求得c=2a，PQ=6a，OP=4a，OQ=2a，進(jìn)而得到λ，由P在x軸下方，Q在x軸的上方，可得λ的另一個(gè)值．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{b}{a}$x，
P在x軸上方，Q在x軸的下方，
H為PQ的中點(diǎn)，可得FH⊥PQ，
由F（c，0）到漸近線(xiàn)的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
由$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，可得2$\sqrt{3}$a•2$\sqrt{3}$a•cos∠PFQ=-6a²，
解得∠PFQ=120°，
FH=b=2$\sqrt{3}$a•cos60°=$\sqrt{3}$a，
則漸近線(xiàn)的斜率為$\sqrt{3}$，∠POF=60°，
由∠OPF=30°，可得PF⊥OF，
則c=2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2a，
OP=2c=4a，OQ=PQ-OP=2PH-4a=2•2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-4a=2a，
由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，可得λ＜0，
且λ=-2；
當(dāng)P在x軸下方，Q在x軸的上方，
可得λ=-$\frac{1}{2}$．
即有λ=-2或-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-2或-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程的運(yùn)用，考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，以及平面幾何中圓的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和向量的數(shù)量積的定義和向量共線(xiàn)的性質(zhì)，屬于中檔題．