Question

16．關于x的不等式|2x-m|≤1的整數解有且僅有一個值為3（m為整數）．
（Ⅰ）求整數m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a⁴+4b⁴+4c⁴=m，求a²+b²+c²的最大值．

Answer 1

分析 （1）由不等式可得$\frac{m-1}{2}≤x≤\frac{m+1}{2}$，結合題意應有$\left\{{\begin{array}{l}{2＜\frac{m-1}{2}≤3}\\{3≤\frac{m+1}{2}＜4}\end{array}}\right.$，由此求得整數m的范圍．
（2）根據題意有${a^4}+{b^4}+{c^4}=\frac{3}{2}$，再利用二維形式的柯西不等式求得a²+b²+c²的最大值．

解答 （1）由關于x的不等式|2x-m|≤1，可得$\frac{m-1}{2}≤x≤\frac{m+1}{2}$，
∵關于x的不等式|2x-m|≤1的整數解有且僅有一個值為3，
則$\left\{{\begin{array}{l}{2＜\frac{m-1}{2}≤3}\\{3≤\frac{m+1}{2}＜4}\end{array}}\right.$，即5＜m＜7，又m為整數，則m=6．
（2）由4a⁴+4b⁴+4c⁴=6有${a^4}+{b^4}+{c^4}=\frac{3}{2}$，
由柯西不等式有${（{{a^2}+{b^2}+{c^2}}）^2}≤（{{1^2}+{1^2}+{1^2}}）（{{{（{a^2}）}^2}+{{（{b^2}）}^2}+{{（{c^2}）}^2}}）=\frac{9}{2}$，
當且僅當$a=b=c=\root{4}{{\frac{1}{2}}}$時，等號成立，
所以a²+b²+c²的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，二維形式的柯西不等式的應用，屬于中檔題．