Question

1．在平面直角坐標系xOy中，曲線${C_1}：{（x-2）^2}+{（y-2）^2}=8$，曲線${C_2}：{x^2}+{y^2}={r^2}（0＜r＜4）$，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線θ=α$（0＜α＜\frac{π}{2}）$與曲線C₁交于O，P兩點，與曲線C₂交于O，N兩點，且|PN|最大值為$2\sqrt{2}$
（1）將曲線C₁與曲線C₂化成極坐標方程，并求r的值；
（2）射線$θ=α+\frac{π}{4}$與曲線C₁交于O，Q兩點，與曲線C₂交于O，M兩點，求四邊形MNPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐標與極坐標互化方法將曲線C₁與曲線C₂化成極坐標方程，利用|PN|最大值為$2\sqrt{2}$求r的值；
（2）${S_{四邊形}}={S_{△OPQ}}-{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OP•OQsin\frac{π}{4}-\frac{1}{2}OM•ONsin\frac{π}{4}$，利用三角函數知識求四邊形MNPQ面積的最大值．

解答 解：（1）曲線${C_1}：{（x-2）^2}+{（y-2）^2}=8$，極坐標方程${C_1}：ρ=4\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
曲線${C_2}：{x^2}+{y^2}={r^2}（0＜r＜4）$，極坐標方程C₂：ρ=r
$|PN|=|{ρ_P}-{ρ_N}|=|4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-r{|_{max}}$=$2\sqrt{2}$，
∴$r=2\sqrt{2}$，∴${C_2}：ρ=2\sqrt{2}$…（4分）
（2）${S_{四邊形}}={S_{△OPQ}}-{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OP•OQsin\frac{π}{4}-\frac{1}{2}OM•ONsin\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）×4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=4$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$）+4-2$\sqrt{2}$
當$α=\frac{π}{8}$時，面積的最大值為$4+2\sqrt{2}$…（6分）

點評 本題考查直角坐標與極坐標互化，考查三角函數知識，屬于中檔題．