Question

7．已知函數f（x）=x²+mx，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）圖象上，且a₁，a₃，a₉成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}通項公式為b_n=$\frac{（2n+1）（-1）^{n-1}}{{S}_{n}}$，前n項和為T_n，求T_n，并判定T_n的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用數列通項和前n項和的關系，結合等比數列中項性質，計算即可得到數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡b_n，討論n的奇偶性，運用相消求和，作差即可判斷單調性．

解答 解：（Ⅰ）點n均在y=f（x）圖象上，∴${S_n}={n^2}+mn$，①
∴$n≥2時，{S_{n-1}}={（n-1）^2}+m（n-1）$，②
①-②得∴a_n=2n-1+m，
又∵a₁=S₁=1+m，
綜上${a_n}=2n-1+m（n∈{N^*}）$，
又∵a₁，a₃，a₉成等比數列，
∴（5+m）²=（1+m）（17+m），
∴m=1，
∴a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=$\frac{（2n+1）（-1）^{n-1}}{{S}_{n}}$=$\frac{（2n+1）（-1）^{n-1}}{n（n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
n為偶數時，T_n=（$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+…-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$；
n為奇數時，T_n=（$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=1+$\frac{1}{n+1}$；
則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{n+1}，n為偶數}\\{1+\frac{1}{n+1}，n為奇數}\end{array}\right.$；
由n≥2時，T_n-T_n-1=b_n=（-1）^n-1（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
則T_n無單調性．

點評 本題考查等差數列通項公式和等比數列中項的性質，考查分類討論思想方法，以及化簡整理運算能力，屬于中檔題．