Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a∈R時，討論f （x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若實數(shù)a滿足a≤-1，且函數(shù)g（x）=4x³+3（b+4）x²+6（b+2）x（b∈R）的極小值點與f （x）的極小值點相同，求證：g（x）的極小值小于等于0．

Answer 1

分析 （I）求解f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1，分類討論求解不等式，利用導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系，得出單調(diào)區(qū)間．
（II）利用極值的求解得出f（x）的極小值是x=-a-1，從而g（x）的極小值點也是x=-a-1，根據(jù)函數(shù)關(guān)系得出-$\frac{b+2}{2}$=-a-1，即b=2a，
a≤-1，故g（x）的極小值g（-a-1）=-（1+a）²（4-2a）≤0，

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1
f′（x）=e^x（x+1）（x+a+1）
由f′（x）=0，得x=-1，或x=-a-1
（1）當(dāng)a=0時，f′（x）=e^x（x+1）²≥0，f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
（2）當(dāng)a＞0時，f（x）在（-a-1，-1）上為減函數(shù)；f（x）在（-∞，-a-1）、（-1，+∞）上為增
函數(shù)，
（3）當(dāng)a＜0時，f（x）在（-1，-a-1）上為減函數(shù)；f（x）在（-∞，-1）、（-a-1，+∞）上為增
函數(shù)，
（Ⅱ）∵a≤-1，∴-a-1＞-1，
又f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]=e^x（x+a+1）（x+1），
∴f（x）的極小值是x=-a-1，從而g（x）的極小值點也是x=-a-1
又g′（x）=12（x+1）（x+$\frac{b+2}{2}$）
∴-$\frac{b+2}{2}$=-a-1，即b=2a
因為a≤-1，
故g（x）的極小值g（-a-1）=-（1+a）²（4-2a）≤0，
即g（x）的極小值小于等于0．

點評 本題綜合考察了導(dǎo)數(shù)的運用解決單調(diào)性，極值等問題，分類討論等思想的運用，屬于難度較大的題目．