Question

5．若以O為極點，在極坐標系Ox中，曲線C₁的極坐標方程為ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$；以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸，取相同的單位長度，建立平面直角坐標系xOy，曲線C₂為橢圓，且以C₁與x軸的交點F為焦點，C₂參數方程的橫坐標表示為x=4cosα．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程和C₂參數方程的縱坐標表達式；
（2）定點P為C₁上θ=$\frac{π}{4}$的點，動點M在C₂上，求|MP|+|MF|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化方法求曲線C₁的直角坐標方程和C₂參數方程的縱坐標表達式；
（2）利用橢圓的定義，進行轉化，即可求|MP|+|MF|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{2}{sinθ+cosθ}$，∴x+y=2，∴F（2，0）；
由題意，曲線C₂為橢圓，c=2，a=4，∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴C₂參數方程的縱坐標表達式為y=2$\sqrt{3}$sinα；
（2）定點P（1，1），設左焦點為F₁，|PF₁|=$\sqrt{10}$
∴|MP|+|MF|=|MP|+8-|MF₁|，
∴8-$\sqrt{10}$≤|MP|+|MF|$≤8+\sqrt{10}$．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，屬于中檔題．