Question

12．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模長都為1，且＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=120°，若正數λ，μ滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，則λ+μ的最大值為2；

Answer 1

分析 根據題意將已知的等式轉化為向量的數量積運算，由向量的數量積運算、完全平方公式化簡，再由基本不等式列出關于“λ+μ”的不等式，即可求出λ+μ的最大值．

解答 解：∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=120°，正數λ，μ滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模長都為1，
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=（λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}）^{2}$=${λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{μ}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$
則1=λ²-λμ+μ²=（λ+μ）²-3λμ，
即3λμ=（λ+μ）²-1，
∵λ＞0，μ＞0，∴$λμ≤（\frac{λ+μ}{2}）^{2}$，當且僅當λ=μ時取等號，
代入上式可得，${（λ+μ）}^{2}-1≤3{（\frac{λ+μ}{2}）}^{2}$，
化簡可得，（λ+μ）²≤4，則0＜λ+μ≤2，
∴λ+μ的最大值是2，
故答案為：2．

點評 本題考查了向量的數量積運算，以及基本不等式在求最值中的應用，考查轉化思想，化簡、變形能力．