Question

17．已知圓C（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．有以下幾個命題：
①直線l恒過定點（3，1）；        
②圓C被y軸截得的弦長為 4$\sqrt{6}$；
③直線 l與圓C恒相交；        
④直線 l被圓C截得最短弦長時，l方程為2x-y-5=0，
其中正確命題的是（　　）

• A． ②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 求出直線所過定點坐標，可判斷①；求出圓被y軸截得的弦長，可判斷②；分析直線所過定義與圓的位置關系，可判斷③；求出滿足條件的直線方程，可判斷④．

解答 解：將l的方程整理為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，

由x+y-4=0，且2x+y-7=0，
解得x=3，y=1，
則無論m為何值，直線l過定點D（3，1）．
故①正確；
令x=0，
則（y-2）²=24，
解得：y=2±2$\sqrt{6}$，
故圓C被y軸截得的弦長為 4$\sqrt{6}$；
故②正確；
因為（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
則點D在圓C的內部，直線l與圓C相交．
故③正確
圓心C（1，2），半徑為5，|CD|=$\sqrt{5}$，
當截得的弦長最小時，l⊥CD，由于k_CD=-$\frac{1}{2}$，
則l的斜率為2，此時直線的方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0，
故④正確；
故選：D

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線與圓的位置關系，難度中檔．