Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₄a_n+1，求{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由${S}_{n}={2}^{n}-1（n∈{N}^{+}）$，可得：n=1，a₁=S₁=1；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=log₄a_n+1=$\frac{n+1}{2}$，利用等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S}_{n}={2}^{n}-1（n∈{N}^{+}）$，n=1，a₁=S₁=1；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．n=1時也成立．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=log₄a_n+1=$\frac{n-1}{2}$+1=$\frac{n+1}{2}$，
∴{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{n（1+\frac{n+1}{2}）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．