Question

16．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設等差數列{b_n}的前n項和為T_n，a₂=b₂，T₄=1+S₃，求$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系a₁=1，且3S_n=a_n+1-1，可得當n＞1時，3S_n-1=a_n-1，兩式相減，可得a_n+1=4a_n（n≥2），再驗證n=1的情況，即可判斷數列{a_n}是首項為1，公比為4的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）依題意，可求得b_n=3n-2，利用裂項法可得$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），于是可求$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$的值．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1①，∴當n＞1時，3S_n-1=a_n-1 ②，…（1分）
①-②得3（S_n-S_n-1）=3a_n=a_n+1-a_n，則a_n+1=4a_n，…（3分）
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，…（4分）
∴數列{a_n}是首項為1，公比為4的等比數列，
則a_n=4^n-1，…（6分）
（2）由（1）得a₂=4，S₃=21…（7分）
則$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=4}\\{{T}_{2}=2{（b}_{2}{+b}_{3}）=22}\end{array}\right.$，得b₃=7，…（8分）
設數列{b_n}的公差為d，則b₁=1，d=3，…（9分）
∴b_n=3n-2，…（10分）
∴$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），…（11分）
∴$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{28}$-$\frac{1}{31}$）]=$\frac{10}{31}$．…（12分）

點評 本題考查數列遞推式的應用，考查等比關系的判定及等差數列、等比數列的通項公式的應用，突出考查裂項法，屬于中檔題．