Question

5．某消費品專賣店的經營資料顯示如下：
①這種消費品的進價為每件14元；
②該店月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）滿足的函數關系式為Q=$\left\{\begin{array}{l}{k_1}P+{b_1}，14≤P≤20\\{k_2}P+{b_2}，20＜P≤26\end{array}$，點（14，22），（20，10），（26，1）在函數的圖象上；
③每月需各種開支4400元．
（1）求月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的函數關系；
（2）當商品的價格為每件多少元時，月利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用帶待定系數法即可求出函數的解析式，再根據銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）滿足的函數關系式，即可月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的函數關系，
（2）設該店月利潤為L元，則由題設得L=Q（P-14）×100-100，得到函數的解析式，分段求出函數的最值，比較即可．

解答 解：（1）∵點（14，22），（20，10），（26，1）在函數的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{14{k}_{1}+{b}_{1}=22}\\{20{k}_{1}+{b}_{1}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{{b}_{1}=50}\end{array}\right.$．
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{b}_{2}=40}\end{array}\right.$，
∴Q=$\left\{\begin{array}{l}{-2P+50，14≤P≤20}\\{-\frac{3}{2}P+40，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
（2）設該店月利潤為L元，則由題設得L=Q（P-14）×100-100，
由（1）得L=$\left\{\begin{array}{l}{（-2p+50）（P-14）×100-4400，14≤P≤20}\\{（-\frac{3}{2}P+40）（P-14）×100-4400，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
=$\left\{\begin{array}{l}{-200{P}^{2}+7800P-74400，14≤P≤20}\\{-150{P}^{2}+6100P-10000，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
當14≤p≤20時，Lmax=1650元，此時P=$\frac{39}{2}$元，
當20＜p≤26時，Lmax=$\frac{4850}{3}$元，此時P=$\frac{61}{3}$元，
故當P=$\frac{39}{2}$時，月利潤最大，為1650元．

點評 本題主要考查與函數的應用問題，根據條件建立函數關系，利用二次函數的圖象和性質是即可得到結論．