Question

14．設函數f（x）=|-2x+4|-|x+6|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）＞a+|x-2|存在實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可；
（2）問題等價于|x-2|-|x+6|＞a，根據絕對值的性質求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）≥0即|2x-4|-|x+6|≥0，
可化為①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-6}\\{-（{2x-4}）+（{x+6}）≥0}\end{array}$，或②$\left\{\begin{array}{l}{-6≤x≤2}\\{-（{2x-4}）-（{x+6}）≥0}\end{array}$，或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（{2x-4}）-（{x+6}）≥0}\end{array}$，
解①可得x＜-6；解②可得$-6≤x≤-\frac{2}{3}$；解③可得x≥10．
綜上，不等式f（x）≥0的解集為$（{-∞，-\frac{2}{3}]∪[10，+∞}）$…..（5分）
（2）f（x）＞a+|x-2|等價于2|x-2|-|x+6|＞a+|x-2|，
問題等價于|x-2|-|x+6|＞a，
而|x-2|-|x+6|≤|（x-2）-（x+6）|=8，
若f（x）＞a+|x-2|存在實數解，則a＜8，
即實數a的取值范圍是（-∞，8）…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質，是一道中檔題．