Question

4．若數列{a_n}的首項a₁=2，且${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），則數列{a_n}的通項公式是a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{-5•（-2）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），可推出S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，從而可得{a_n}是以-5為首項，-2為公比的等比數列，從而解出數列的通項公式．

解答 解：∵${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），可推出S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，n≥2，兩式作差的，a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，
即a_n+1=-2a_n，
則{a_n}是以a₂為首項，-2為公比的等比數列，數列{a_n}的首項a₁=2，∴a₁+a₂=$\frac{2}{3}$a₂+$\frac{1}{3}$，
a₂=-5，
則a_n=-5•（-2）^n-2．n≥2．
數列的通項公式為：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\-5{（-2）^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{-5•（-2）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了數列的通項公式的推導，數列遞推關系式的應用，考查計算能力．