Question

13．如圖，某公園中間有一塊等腰梯形的綠化區ABCD，AB，CD的長度相等，均為2百米，BC的長度為4百米，其中BMN是半徑為1百米的扇形，$∠ABC=\frac{π}{3}$．管理部門欲在綠化區ABCD中修建從M到C的觀賞小路$\widehat{MP}-PQ-QC$；其中P為$\widehat{MN}$上異于M，N的一點，小路PQ與BC平行，設∠PBC=θ．
（1）用θ表示PQ的長度，并寫出θ的范圍；
（2）當θ取何值時，才能使得修建的觀賞小路$\widehat{MP}-PQ-QC$的總長度最短？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過P作PP₁⊥BC于P₁，過Q作QQ₁⊥BC于Q₁，先計算BN，PP₁，再得出CQ₁即可得出PQ的長；
（2）求出觀賞小路長度關于θ的函數f（θ），利用導數求出f（θ）的單調性，總而得出觀賞小路最小時對應的θ值．

解答 解：（1）過P作PP₁⊥BC于P₁，過Q作QQ₁⊥BC于Q₁，
∵∠PBC=θ，BP=1，
∴QQ₁=PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
在Rt△QCQ₁中，tan∠QCQ₁=$\frac{Q{Q}_{1}}{C{Q}_{1}}$=$\sqrt{3}$，∴CQ₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，
∴PQ=P₁Q₁=4-cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{3}$），
（2）在Rt△QCQ₁中，sin∠QCQ₁=$\frac{Q{Q}_{1}}{CQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴CQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，
∵∠PBC=θ，∠ABC=$\frac{π}{3}$，BP=1，
∴$\widehat{MP}$=$\frac{π}{3}$-θ，
設觀賞小路的總長度為f（θ），則f（θ）=$\frac{π}{3}$-θ+4-cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ=$\frac{π}{3}$-θ+4-cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ（0＜θ＜$\frac{π}{3}$），
∴f′（θ）=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosθ-1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$θ+\frac{π}{6}$）-1，
令f′（θ）=0得sin（$θ+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得θ=$\frac{π}{6}$，
當0＜θ＜$\frac{π}{6}$時，f′（θ）＜0，當$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{3}$時，f′（θ）＞0，
∴f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上單調遞減，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上單調遞增，
∴當θ=$\frac{π}{6}$時，f（θ）取得最小值，
∴當θ=$\frac{π}{6}$時，觀賞小路$\widehat{MP}-PQ-QC$的總長度最短．

點評 本題考查了函數解析式的求解，導數與函數最值的關系，屬于中檔題．