Question

2．等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，數列{b_n}滿足b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n+$\frac{1}{b_n}$（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列的通項公式即可求得公式比q，2a₁+3a₁q=1，則a₁=$\frac{1}{3}$．根據等比數列的通項公式即可求得{b_n}的通項公式；
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加即可求得數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和，利用等比數列前n項和公式求得數列{a_n}前n項和，相加即可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，則q²=$\frac{1}{9}$，由條件可知各項均為正數，故q=$\frac{1}{3}$．
由2a₁+3a₂=1，得2a₁+3a₁q=1，
∴a₁=$\frac{1}{3}$．故數列{a_n}的通項式為a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴數列{a_n}的通項式為a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）故$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）則$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=-$\frac{2n}{n+1}$，
∴數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和為-$\frac{2n}{n+1}$．
等比數列{a_n}前n項和T_n，T_n=$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$，
數列{c_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$-$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數列通項公式，等比數列前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．