Question

12．焦點為（0，±6）且與雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同漸近線的雙曲線方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$
• B． $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$
• C． $\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$
• D． $\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 根據題意，由已知焦點坐標設要求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，分析可得a²+b²=36①，由雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的方程可得其漸近線方程，進而可得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，聯立①②可得a²、b²的值，代入要求雙曲線的方程，即可得答案．

解答 解：根據題意，要求雙曲線的焦點為（0，±6），可以設其方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
若其焦點為（0，±6），即c=6，則有a²+b²=36，①
雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
則雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的漸近線也為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，則有$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
聯立①②可得：a²=12，b²=24，
則要求雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{24}$=1，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，注意用待定系數法分析之前，確定雙曲線焦點的位置．