Question

8．函數(shù)f（x）=a^x（a＞1）與函數(shù)g（x）=x²圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e${\;}^{\frac{2}{e}}$）．

Answer 1

分析 x＜0時(shí)，必有一個(gè)交點(diǎn)，x＞0時(shí)，由a^x-x²=0，可得lna=$\frac{2lnx}{x}$，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出lna的范圍即可得出答案．

解答 解：x＞0時(shí)，由a^x-x²=0，可得a^x=x²，∴xlna=2lnx，
∴l(xiāng)na=$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}$=0，可得x=e，
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{2}{e}$，
∴l(xiāng)na＜$\frac{2}{e}$，
∴1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$
又x＜0時(shí)，必有一個(gè)交點(diǎn)，
∴1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x-x²（a＞1）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
故答案為：（1，e${\;}^{\frac{2}{e}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．